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 私がこの本を選んだ理由は3つあります。1つ目は日本人として母国語の歴史ぐらいは知らねばと思ったから。2つ目は今後文学や古典に触れる際、言語における過去から現在までの繋がりを感じたかったから。3つ目はこの本を読み始める頃、言語とりわけその歴史的背景を知ることに興味があったから。

私が最もおもしろいと思った所は当然のことではありますが、係り結びの隆盛に代表されるような言語の移ろいです。武士が台頭する鎌倉時代には様々な作品で、力強さを表すような強調の意の係り結びが多く用いられています。その為、他の係り結びが衰退していく中助詞の機能が確立されるまでは強調の係り結びは生き残っていきます。

 私は日本語に大きな魅力を感じています。それは日本語が、複雑性に起因するような表現の幅を持っているからだと思います。遥か昔から少しずつ形を変えながら引き継がれてきた日本語という1つの言語を、今後も大切にしたいです。

『全地球凍結』を読みました。

 学校の地学の課題で「以下のリストから本を一冊選び、書評を書きなさい」というものがあったのでこの本をセレクトしてみました。他には人類史や宇宙、火山、古代生物、地震などがありましたが、どれも大して興味も湧かなかったのでこの本を読むことにしました。この本はタイトルの通り、「全地球凍結」についてです。全地球凍結といえば去年の劇場版ドラえもんのテーマにもなっていましたね。さて単刀直入に伺いますが、あなたは全地球凍結がどのようなものかを説明できますか?難しい話ではありません。この現象は読んで字のごとく「地球の表面全体が氷に覆われ、まるで一つの雪玉のようになった」という現象です。ね?簡単でしょう?皆さんもそうかもしれませんが私はこの理論を初めて聞いた時は大変驚きました。だって地球が雪玉のようになるんですよ?普通ではなかなか考えられません。本書ではこの理論を支持する具体的な根拠を豊富な資料・図とともに解説することで読者への理解を促しています。本を読み進めていくうちにこの理論の面白さがわかりロマンも感じられました。この理論を考えることによって何が嬉しいのか、を伝えられたらと思います。
 この本は6章からなる本で、第1章で全地球凍結仮説登場の歴史的経緯やこれが発展していく様子を紹介し、第2章はこの理論を支える根拠のうち最も重要視されている「キャップ•カーボネート」をめぐる議論を解説しています。第3章では第2章で取り上げたような議論の中で生じた反論のうち、代表的な3つを紹介しています。第4章では第3章で挙げられたような全地球凍結に対立する仮説を受け、この理論の正当性を主張するために克服すべき課題について述べています。第5章では視野を広げ、気候学の分野からの全地球凍結において要となる「二酸化炭素の動き」に対するアプローチを紹介しています。最終章である第6章は第4章と少し似ていて、全地球凍結が認められるために避けては通れない「極寒の地で生物たちがどのように命のバトンを繋いできたか」という大きな問いに対する説得力のある答えになりうる可能性がいくつか提示されています。また、後半では多細胞動物の出現やその爆発的な多様化に代表されるような生物進化と地球環境、特に全地球凍結とを結びつける視点について述べられています。
 「この理論を考えると何が嬉しいのか」と先程述べましたが、全地球凍結を仮定することによって様々なことにうまく説明を与えられるということが一番大きいと思います。それは例えば氷河堆積物であったり縞状炭酸塩岩であったり。しかし、これらには全地球凍結以外の観点で説明を与えることができる余地も残されているのです。そうした対立意見に対して地道なサンプリング作業や考察を重ねることによって議論がさらに活発になりついには分野の壁を越え、発展していく様子は読んでいて非常に面白かったです。
 ネタバラシをします。私この本全部読んでません。第2章で心が折れました; モチベが失われました。やはり本の内容的に説明の中で難解な部分がありました。炭素同位体比のところから記憶がありません。私がここまで具体的な話や内容を避けて説明を試みていたのはそういうわけです。しかし、各章の最初にまとめてある導入を参考にするだけでも意外となんとかなりました。今度このような機会があれば計画的に課題を進め、ゆとりのある状態で読書したいです。あと、この本は表紙をもう少し華やかなものにすればいいと思います。表紙が全てグレーなのは正直地味だと感じました。
 ここまでいかがだったでしょうか?気がついたら学校指定の目標字数よりも多く書いてしまいました。国語学年最下位だから仕方ないね(小声)。でも大丈夫。オープニングトークやネタバラシの部分を省略すればきっとちょうどいい感じになるはずです。最後になりますが、興味のある方、地学徒さんはぜひ挑戦してみてください!最後までご覧いただきありがとうございました!

前回の答えと解説

こんにちは。

前回の投稿からだいぶ時間が空いてしまいましたね。

今回は前回出題した問題の解説をしていきたいと思います。

enjoymathematics.hatenablog.jp

ちなみに現代文と古典は爆死しました。ついでに生物も。生物は本当に難しいと思います。

さて問題を確認しましょう。

 問題.次の式の値を求めなさい。

    \displaystyle\frac{e^{z}-e^{-z}}{z}\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_{2m}}{(2m)!}(2z)^{2m}\Bigr)\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{E_{2m}}{(2m)!}z^{2m}\Bigr)

    ただしB_mはBernoulli数、E_mはEuler数である。

でしたね。

早速解説していきます。

まずBernoulli数がどのようなものか確認しましょう。

 定義.Bernoulli数

   Bernoulli数B_mはべき級数

   \displaystyle\frac{z}{e^{z}-1}=\sum_{m=0}^{\infty}B_m\frac{z^{m}}{m!}, (|z|<2\pi)を母関数として

   \displaystyle\frac{z^{m}}{m!}の係数として求められる。

Bernoulli数はm1を除く奇数の場合は0になります。

(証明)

定義式からm=1の場合の項\displaystyle-\frac{z}{2}を引くと、左辺は

\displaystyle\frac{z}{e^{z}-1}-\bigl(-\frac{z}{2}\bigr)=\frac{2z+z(e^{z}-1)}{2(e^{z}-1)}=\frac{z}{2}\frac{e^{z}+1}{e^{z}-1}となりますね。

このz-zを代入して式変形していきます。

\displaystyle-\frac{z}{2}\frac{e^{-z}+1}{e^{-z}-1}

分母と分子にe^{z}を乗じます。

\displaystyle-\frac{z}{2}\frac{e^{-z}+1}{e^{-z}-1}=-\frac{z}{2}\frac{e^{z}+1}{-e^{z}+1}=\frac{z}{2}\frac{e^{z}+1}{e^{z}-1}となり、

この式が偶関数であることがわかります。

これより、母関数の右辺は

\displaystyle B_{0}+B_{2}\frac{z^{2}}{2!}+B_{3}\frac{z^{3}}{3!}+B_{4}\frac{z^{4}}{4!}+…となりますが、

この式が偶関数であることから、mが奇数のBernoulli数B_mB_1を除いて0となることがわかります。(Q.E.D)

このことからBernoulli数は以下のように表すことができます。

\displaystyle\frac{z}{2}\frac{e^{z}+1}{e^{z}-1}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_{2m}}{(2m)!}z^{2m}

この式においてz=2zとおくと

\displaystyle z\frac{e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_{2m}}{(2m)!}(2z)^{2m}

というように表せますね。       ①

次にEuler数について見ていきましょう。

 定義.Euler数

   Euler数E_mはべき級数

   \displaystyle\frac{2e^{z}}{e^{2z}+1}=\sum_{m=0}^{\infty}E_m\frac{z^{m}}{m!}, (|z|<\frac{\pi}{2})を母関数として

   \displaystyle\frac{z^{m}}{m!}の係数として求められる。

Euler数E_mは、mが奇数の時は0になります。

従って、mが偶数の時のみを考えればEuler数は

\displaystyle\frac{2e^{z}}{e^{2z}+1}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{E_{2m}}{(2m)!}z^{2m}

もしくは

\displaystyle\frac{2}{e^{z}+e^{-z}}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{E_{2m}}{(2m)!}z^{2m}

と表せますね。       ②

②の式の分母\displaystyle e^{z}+e^{-z}を移項します。

\displaystyle 2= (e^{z}+e^{-z})\sum_{m=0}^{\infty}\frac{E_{2m}}{(2m)!}z^{2m}       ③

①の式を整理します。

\displaystyle e^{z}+e^{-z}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{z}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_{2m}}{(2m)!}(2z)^{2m}

この式を③に代入すると

\displaystyle\frac{e^{z}-e^{-z}}{z}\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{B_{2m}}{(2m)!}(2z)^{2m}\Bigr)\Bigl(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{E_{2m}}{(2m)!}z^{2m}\Bigr)=2

となります。

答えは2です。

※参考文献    若原龍彦(2017)『美しい無限級数 ゼータ関数L関数をめぐる数学』プレアデス出版.



一見複雑な式からシンプルな値が導かれた時はなんとも言えない気持ちになります

円と球について

いきなりですが問題です。

①円の半径をr, 面積をSとするときS=\pi r^{2}になることを示しなさい。

②半径rの球の体積V\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}と表されることを示しなさい。

急に書きたくなったんですよね。球だけに。

では早速証明していきましょう。

(証明①)

小学校の時に「円をいくつかに分割して敷き詰めれば平行四辺形と解釈できますよね!」みたいな感じで習うこの公式。

厳密さに欠けるなぁ…とずっと思っていました。

あれから数年。私は積分という道具を手に入れました。

前置きが長くなってしまいましたね。それでは積分を使って証明していきましょう!



座標平面上の半径rの円はx^{2}+y^{2}=r^{2}という式で表されますね。(1)

(1)の式を変形します。

y=\sqrt {r^{2}-x^{2}}

rから-rの範囲で積分します。

\displaystyle S=2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dxとなりますね。(2)

ここでx=r sin\thetaと置換します。(3)

(3)の両辺を\theta微分します。

\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=r cos\theta.(4)

(4)の両辺にd\thetaをかけます。

dx=r cos\theta d\theta.(5)

次に積分範囲を変更しちゃいましょう。

r=r sin\theta

sin\theta=1

\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}より上限が\displaystyle\frac{\pi}{2}であること、

-r=r sin\theta

sin\theta=-1

\displaystyle\theta=-\frac{\pi}{2}より下限が\displaystyle-\frac{\pi}{2}であることがわかりますね。(6)

(2)に(5)と(6)を反映させます。

すると\displaystyle S=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}-r^{2}sin^{2}\theta}r cos\theta d\thetaとなりますね。

計算していきます。

\displaystyle S=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}-r^{2}sin^{2}\theta}r cos\theta d\theta

\displaystyle=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}(1-sin^{2}\theta)}r cos\theta d\theta

\displaystyle=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}r\sqrt{1-sin^{2}\theta}r cos\theta d\theta

\displaystyle=2r^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}\theta d\theta

\displaystyle=2r^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta

\displaystyle=2r^{2}\Biggl[\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}sin2\theta\Biggr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

\displaystyle=2r^{2}(\frac{1}{2}\pi)

\displaystyle=\pi r^{2} (証明終了)

(証明②) 

座標平面上の半径rの円はx^{2}+y^{2}=r^{2}という式で表されますね。(1)

(1)の式を変形します。

y^{2}=r^{2}-x^{2}

rから-rの範囲で積分します。

\displaystyle V=\pi\int_{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dxとなりますね。

計算していきます。

\displaystyle V=\pi\int_{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dx

\displaystyle=\pi\Biggl[r^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}\Biggr]_{-r}^{r}

\displaystyle=\pi(\frac{4}{3}r^{3})

\displaystyle=\frac{4}{3}\pi r^{3}(証明終了)



いくつかの前提知識を仮定していますがそれらも追加でこの記事内で紹介する予定です。




円の面積の公式の方が難しいですよね。ちなみに球の表面積は理解できていないので今回取り上げていません。いつか解説したいです。

慶応の過去問で見つけた問題

慶應義塾大学の問題でこんな問題を見つけました。(大数にあった、が正確かもしれませんね)

なぜこんなにピンポイントかと言えば、もともとこの記事は私の友人向けに書いたからです。

xy+x+y=20, xy^{2}+x^{2}y=91とする時、(1)x^{2}+y^{2} (2)x^{3}+y^{3}を求めなさい。

では早速解いていきましょう。

xy\overset{\mathrm{def}}{=}p, x+y\overset{\mathrm{def}}{=}qとします。

これらを用いれば問の式を

p+q=20, pq=91と表せますね。

p+q=20p=20-qと変形してもう1つの式に代入し、計算していきます。

q(20-q)=91

q^{2}-21q+91=0

(q-13)(q-7)=0

q=7, 13というようにq713ということがわかりますね。

しかし、pも同じような結果になってしまいます。

いったいどちらが7でどちらが13なのでしょうか。

これを求めるためにxy2つを解に持つ二次方程式を考えます。(未知数をXとします。)

(X-x)(X-y)=0

X^{2}-X(x+y)+xy=0

ここで先ほどのpqを利用すると

X^{2}-qX+p=0となりますね。

二次方程式の判別式を使います。

一応紹介しておきます。

二次方程式の解の判別式

二次方程式ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)がある時、

b^{2}-4acの値をWとして

W>0であれば実数解を2つ持ち

W=0であれば1つの実数解(重解)を持ち

W<0であれば実数解を持たない

ということが成り立つ。

(考え方)

二次方程式の解の公式 \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}に注目します。

もし√の中に悲負実数が残っていれば解が2つ生まれ、

もし√の中が0になれば解がピタリと1つに定まり、

もし√の中が負の数になれば実数解は考えられないということは直感的に理解できると思います。



さて、話を戻しましょう。

今回考える方程式の場合、解は2つですから判別式は

q^{2}-4p>0となりますね。

これを満たすpqの組み合わせを(p, q)とすると(p, q)=(7, 13)とわかりますね。

改めて整理すればx+y=13, xy=7ですね。

あとは(1), (2)の式を変形して代入するだけですね。

(1)

x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=13^{2}-2×7=169-14=155

(2)

x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=13×(155-7)=13×148=1924



一瞬でしかも暗算で判別式を使って答えを導いたあのお二方は本当にすごいですよね。

前回の続き

今回は前回の記事の続き的なものを書きたいと思います。

enjoymathematics.hatenablog.jp

この記事で書きましたが、1^2+2^2+3^2+…+n^2の値の計算方法について考えていきたいと思います。

考え方1.\displaystyle\sumを使う。   

k^3-(k-1)^3について考えます。

k^3-(k-1)^3=k^3-k^3+3k^2-3k+1=3k^2-3k+1

この式のk1からnまで代入していきます。

k=1の場合 1^3-0^3=3×1^2-3×1+1

k=2の場合 2^3-1^3=3×2^2-3×2+1

k=3の場合 3^3-2^3=3×3^2-3×3+1








k=nの場合 n^3-(n-1)^3=3×n^2-3×n+1

これらを上から下まで足していきます。

すると

(1^3+2^3+3^3+…+n^3)-\bigl(0^3+1^3+2^3+…+(n-1)^3\bigr)=3(1^2+2^2+3^2+…+n^2)-3(1+2+3+…+n)+(1+1+1+…)となって

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=0}^{n-1}k^3=3 \sum_{k=1}^{n}k^2-3 \sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1となりますね。(1)

この際、\displaystyle\sum結合則をもとに、

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigl(k^3-(k-1)^3\bigr)=\sum_{k=1}^{n}\bigl(3k^2-3k+1\bigr)

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=1}^{n}(k-1)^3=\sum_{k=1}^{n}3k^2-\sum_{k=1}^{n}3k+\sum_{k=1}^{n}1

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=0}^{n-1}k^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1と解釈しても問題ありません。

まず(1)の左辺から見ていきましょう。

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=0}^{n-1}k^3=n^3ですね。(2)

そして右辺。

\displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n}k^2-3 \sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3×\frac{n(n+1)}{2}+nですね。(3)

これらをまとめると、

(1)は、(2), (3)より、

\displaystyle n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3×\frac{n(n+1)}{2}+nとなりますね。

計算していきます。

\displaystyle n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3×\frac{n(n+1)}{2}+n

\displaystyle n^3+3×\frac{n(n+1)}{2}-n=3 \sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle 2n^3+3n(n+1)-2n=6 \sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle 2n^3+3n^2+n=6\sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle (2n+1)(n+1)=6\sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}(2n+1)(n+1)

考え方2.1+2+3+…+nと比較する。*1

自然数の数列をa_n, 自然数の数列の項の11つを2乗した数列をb_nとします。

k=1 k=2 k=3 k=4
\displaystyle\sum_{n=1}^{k}a_n 1 3 6 10
\displaystyle\sum_{n=1}^{k}b_n 1 5 14 30
\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{k}b_n}{\displaystyle\sum_{n=1}^{k}a_n} \displaystyle\frac{3}{3} \displaystyle\frac{5}{3} \displaystyle\frac{7}{3} \displaystyle\frac{9}{3}

(あえて4段目の分母を3に揃えています。)

このグラフを見ると何か見えてきませんか?

そう\displaystyle\sum_{n=1}^{k}b_nの値と\displaystyle\sum_{n=1}^{k}a_nの値の比は常に\displaystyle\frac{2n+1}{3}:1なのです!

つまり\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k×\frac{2n+1}{3}ですね。

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k×\frac{2n+1}{3}=\frac{n(n+1)}{2}×\frac{2n+1}{3}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)ということです。



追記(4/5):いくつかの修正を加えました。報告してくださったU氏に感謝いたします。




2つ目の考え方は面白いですね

*1:藤原正彦小川洋子(2005)『世にも美しい数学入門』筑摩書房.