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対数法則

今回は基本的な対数に関する性質を取り上げたいと思います。

a>0, a\neq 1, b>0, b\neq 1, P>0, Q>0のとき、

\displaystyle\log_a P+\log_a Q=\log_a PQ

\displaystyle\log_a P-\log_a Q=\log_a \frac{P}{Q}

\displaystyle p\log_a Q=\log_a Q^{p}

\displaystyle \log_a P=\frac{\log_b P}{\log_b a}

が成り立ちます。
(証明)
\displaystyle \log_a P=M, \displaystyle \log_a Q=NとなるM, Nを仮定します。

 対数の定義より、a^{M}=P, a^{N}=Qとなります。

 2つのaを掛け合わせます。

 a^{M}・a^{N}=a^{M+N}=PQ

 ここで、aを底として両辺の対数をとると、

 \displaystyle \log_a PQ=M+N=\log_a P+\log_a Q

 となり、成立することがわかります。


\displaystyle \log_a P=M, \displaystyle \log_a Q=NとなるA, Bを仮定します。

 対数の定義より、a^{M}=P, a^{N}=Qとなります。

 a^{M}a^{N}で割ります。

 a^{M}\div a^{N}=a^{M-N}=\frac{P}{Q}

 ここで、aを底として両辺の対数をとると、

 \displaystyle \log_a \frac{P}{Q}=M-N=\log_a P-\log_a Q

 となり、成立することがわかります。


③実は、①は単項式が何個でも成立します。

 \displaystyle\log_a Q^{p}=\log_a Q・Q・Q・Q…(Qがp個ある)

 ①より、\displaystyle\log_a Q^{p} が \displaystyle\log_a Q+\log_a Q+\log_a Q+…となり、\displaystyle\log_a Qはp個あるので、

 \displaystyle p\log_a Q=\log_a Q^{p}となり、成立することがわかります。

 余談ですが、数列a_nの無限積\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}a_nの対数を取ると、①の性質より、

 \displaystyle\log(a_1・a_2・a_3…)=\log a_1+\log a_2+\log a_3…となるので、

 \displaystyle\log\prod_{n=1}^{\infty}a_n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\log  a_nというように無限和になることがわかります。


log_a P=pについて考えていきます。

 これより、a^{p}=Pとなります。

 ここで、bを底として両辺の対数をとると、

 \displaystyle\log_b a^{p}=\log_b Pとなります。

 ③より、\displaystyle\log_b a^{p}=p\log_b aと変形できるので、

 \displaystyle p\log_b a=\log_b Pを得られます。さらにp\displaystyle\log_a Pを代入し、整理すると、

 \displaystyle \log_a P=\frac{\log_b P}{\log_b a}となり、成立することがわかります。



 個人的に無限和から無限積への変身が好きです。

 [追記:3/10]いくつかのミスを直しました。連絡してくださったUさん、ありがとうございます。

[追記:5/19]無限積の対数についての説明のミスを修正しました。