Enjoy Mathematics

数学をもっと楽しむ

前回の続き

今回は前回の記事の続き的なものを書きたいと思います。

enjoymathematics.hatenablog.jp

この記事で書きましたが、1^2+2^2+3^2+…+n^2の値の計算方法について考えていきたいと思います。

考え方1.\displaystyle\sumを使う。   

k^3-(k-1)^3について考えます。

k^3-(k-1)^3=k^3-k^3+3k^2-3k+1=3k^2-3k+1

この式のk1からnまで代入していきます。

k=1の場合 1^3-0^3=3×1^2-3×1+1

k=2の場合 2^3-1^3=3×2^2-3×2+1

k=3の場合 3^3-2^3=3×3^2-3×3+1








k=nの場合 n^3-(n-1)^3=3×n^2-3×n+1

これらを上から下まで足していきます。

すると

(1^3+2^3+3^3+…+n^3)-\bigl(0^3+1^3+2^3+…+(n-1)^3\bigr)=3(1^2+2^2+3^2+…+n^2)-3(1+2+3+…+n)+(1+1+1+…)となって

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=0}^{n-1}k^3=3 \sum_{k=1}^{n}k^2-3 \sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1となりますね。(1)

この際、\displaystyle\sum結合則をもとに、

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\bigl(k^3-(k-1)^3\bigr)=\sum_{k=1}^{n}\bigl(3k^2-3k+1\bigr)

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=1}^{n}(k-1)^3=\sum_{k=1}^{n}3k^2-\sum_{k=1}^{n}3k+\sum_{k=1}^{n}1

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=0}^{n-1}k^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1と解釈しても問題ありません。

まず(1)の左辺から見ていきましょう。

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3-\sum_{k=0}^{n-1}k^3=n^3ですね。(2)

そして右辺。

\displaystyle 3 \sum_{k=1}^{n}k^2-3 \sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3×\frac{n(n+1)}{2}+nですね。(3)

これらをまとめると、

(1)は、(2), (3)より、

\displaystyle n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3×\frac{n(n+1)}{2}+nとなりますね。

計算していきます。

\displaystyle n^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2-3×\frac{n(n+1)}{2}+n

\displaystyle n^3+3×\frac{n(n+1)}{2}-n=3 \sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle 2n^3+3n(n+1)-2n=6 \sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle 2n^3+3n^2+n=6\sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle (2n+1)(n+1)=6\sum_{k=1}^{n}k^2

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}(2n+1)(n+1)

考え方2.1+2+3+…+nと比較する。*1

自然数の数列をa_n, 自然数の数列の項の11つを2乗した数列をb_nとします。

k=1 k=2 k=3 k=4
\displaystyle\sum_{n=1}^{k}a_n 1 3 6 10
\displaystyle\sum_{n=1}^{k}b_n 1 5 14 30
\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n=1}^{k}b_n}{\displaystyle\sum_{n=1}^{k}a_n} \displaystyle\frac{3}{3} \displaystyle\frac{5}{3} \displaystyle\frac{7}{3} \displaystyle\frac{9}{3}

(あえて4段目の分母を3に揃えています。)

このグラフを見ると何か見えてきませんか?

そう\displaystyle\sum_{n=1}^{k}b_nの値と\displaystyle\sum_{n=1}^{k}a_nの値の比は常に\displaystyle\frac{2n+1}{3}:1なのです!

つまり\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k×\frac{2n+1}{3}ですね。

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}k×\frac{2n+1}{3}=\frac{n(n+1)}{2}×\frac{2n+1}{3}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)ということです。



追記(4/5):いくつかの修正を加えました。報告してくださったU氏に感謝いたします。




2つ目の考え方は面白いですね

*1:藤原正彦小川洋子(2005)『世にも美しい数学入門』筑摩書房.