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慶応の過去問で見つけた問題

慶應義塾大学の問題でこんな問題を見つけました。(大数にあった、が正確かもしれませんね)

なぜこんなにピンポイントかと言えば、もともとこの記事は私の友人向けに書いたからです。

xy+x+y=20, xy^{2}+x^{2}y=91とする時、(1)x^{2}+y^{2} (2)x^{3}+y^{3}を求めなさい。

では早速解いていきましょう。

xy\overset{\mathrm{def}}{=}p, x+y\overset{\mathrm{def}}{=}qとします。

これらを用いれば問の式を

p+q=20, pq=91と表せますね。

p+q=20p=20-qと変形してもう1つの式に代入し、計算していきます。

q(20-q)=91

q^{2}-21q+91=0

(q-13)(q-7)=0

q=7, 13というようにq713ということがわかりますね。

しかし、pも同じような結果になってしまいます。

いったいどちらが7でどちらが13なのでしょうか。

これを求めるためにxy2つを解に持つ二次方程式を考えます。(未知数をXとします。)

(X-x)(X-y)=0

X^{2}-X(x+y)+xy=0

ここで先ほどのpqを利用すると

X^{2}-qX+p=0となりますね。

二次方程式の判別式を使います。

一応紹介しておきます。

二次方程式の解の判別式

二次方程式ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)がある時、

b^{2}-4acの値をWとして

W>0であれば実数解を2つ持ち

W=0であれば1つの実数解(重解)を持ち

W<0であれば実数解を持たない

ということが成り立つ。

(考え方)

二次方程式の解の公式 \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}に注目します。

もし√の中に悲負実数が残っていれば解が2つ生まれ、

もし√の中が0になれば解がピタリと1つに定まり、

もし√の中が負の数になれば実数解は考えられないということは直感的に理解できると思います。



さて、話を戻しましょう。

今回考える方程式の場合、解は2つですから判別式は

q^{2}-4p>0となりますね。

これを満たすpqの組み合わせを(p, q)とすると(p, q)=(7, 13)とわかりますね。

改めて整理すればx+y=13, xy=7ですね。

あとは(1), (2)の式を変形して代入するだけですね。

(1)

x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=13^{2}-2×7=169-14=155

(2)

x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=13×(155-7)=13×148=1924



一瞬でしかも暗算で判別式を使って答えを導いたあのお二方は本当にすごいですよね。