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円と球について

いきなりですが問題です。

①円の半径をr, 面積をSとするときS=\pi r^{2}になることを示しなさい。

②半径rの球の体積V\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}と表されることを示しなさい。

急に書きたくなったんですよね。球だけに。

では早速証明していきましょう。

(証明①)

小学校の時に「円をいくつかに分割して敷き詰めれば平行四辺形と解釈できますよね!」みたいな感じで習うこの公式。

厳密さに欠けるなぁ…とずっと思っていました。

あれから数年。私は積分という道具を手に入れました。

前置きが長くなってしまいましたね。それでは積分を使って証明していきましょう!



座標平面上の半径rの円はx^{2}+y^{2}=r^{2}という式で表されますね。(1)

(1)の式を変形します。

y=\sqrt {r^{2}-x^{2}}

rから-rの範囲で積分します。

\displaystyle S=2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dxとなりますね。(2)

ここでx=r sin\thetaと置換します。(3)

(3)の両辺を\theta微分します。

\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=r cos\theta.(4)

(4)の両辺にd\thetaをかけます。

dx=r cos\theta d\theta.(5)

次に積分範囲を変更しちゃいましょう。

r=r sin\theta

sin\theta=1

\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}より上限が\displaystyle\frac{\pi}{2}であること、

-r=r sin\theta

sin\theta=-1

\displaystyle\theta=-\frac{\pi}{2}より下限が\displaystyle-\frac{\pi}{2}であることがわかりますね。(6)

(2)に(5)と(6)を反映させます。

すると\displaystyle S=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}-r^{2}sin^{2}\theta}r cos\theta d\thetaとなりますね。

計算していきます。

\displaystyle S=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}-r^{2}sin^{2}\theta}r cos\theta d\theta

\displaystyle=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{r^{2}(1-sin^{2}\theta)}r cos\theta d\theta

\displaystyle=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}r\sqrt{1-sin^{2}\theta}r cos\theta d\theta

\displaystyle=2r^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2}\theta d\theta

\displaystyle=2r^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+cos2\theta}{2}d\theta

\displaystyle=2r^{2}\Biggl[\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}sin2\theta\Biggr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}

\displaystyle=2r^{2}(\frac{1}{2}\pi)

\displaystyle=\pi r^{2} (証明終了)

(証明②) 

座標平面上の半径rの円はx^{2}+y^{2}=r^{2}という式で表されますね。(1)

(1)の式を変形します。

y^{2}=r^{2}-x^{2}

rから-rの範囲で積分します。

\displaystyle V=\pi\int_{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dxとなりますね。

計算していきます。

\displaystyle V=\pi\int_{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dx

\displaystyle=\pi\Biggl[r^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}\Biggr]_{-r}^{r}

\displaystyle=\pi(\frac{4}{3}r^{3})

\displaystyle=\frac{4}{3}\pi r^{3}(証明終了)



いくつかの前提知識を仮定していますがそれらも追加でこの記事内で紹介する予定です。




円の面積の公式の方が難しいですよね。ちなみに球の表面積は理解できていないので今回取り上げていません。いつか解説したいです。